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高等数学-高阶导数ppt课件

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第二章 第二节 导数与微分 反函数与复合函数的导数 隐函数的导数 主要内容: 一、隐函数的导数. 二、由参数方程确定的函数的导数; 三、高阶导数. 1 首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、隐函数的导数 定义: 由方程F(x, y) 0所确定的函数称为隐函数. y f(x)形式称为显.函数 F(x,y)0 yf(x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 2 首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 求由方x程 yex ey 0所确定的隐函 y的导dd数 xy, ddxyx0. 解 方程两边x对 求导, yxdy exeydy 0 dx dx 解得 dy ex y dx x ey , 由原方x程 0,y知 0, ddxyx0 exxeyy 1. x0 y0 3 首页 上页 返回 下页 结束 铃 隐函数求导法则 隐函数求导步骤: A、对方程两边求导; B、方程仅含x的式子按正常求导;凡含y的 式子要按复合函数求导,且结果必有y(或 dy ) dx C、将 y的系数合并移项到等式左边,其余 移项到等式右边,求解出 。y 4 首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 设曲C线的方程x为 3 y3 3xy,求过 C上 点3,3的切线方 , 并程证明曲 C在 线该点的法 2 2 线通过原 . 点 解 方程两边x对 求导, 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 x y y (3,3) 22 y x2 y2 x ( 3, 3) 22 1. 所求切线方程为 y3(x3) 即 xy30. 2 2 法线方 y3 程 x为 3即yx, 显然通过原点. 22 5 首页 上页 返回 下页 结束 铃 对数求导法 观察函数 y(x (x 1)43)2 xe x1, yxsix n. 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 该方法主要用: 于 (1)幂指函数的求导 . 数 (2)多个函数的连乘除导的数求 . 6 首页 上页 返回 下页 结束 铃 例3 设y(x(x1)43)2xex1,求y. 解 等式两边取对数得 ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3 上式两边 x求对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4 y (x (x 1 ) 4 3 )2 x e x 1 [x 1 1 3 (x 1 1 ) x 2 4 1 ] 7 首页 上页 返回 下页 结束 铃 例4 设 y x sx in (x 0 )求 ,y . 解 等式两边取对数得 ln y sixn ln x 上式两x边 求对 导得 1ycoxslnxsix n1 y x yy(cx o ln sxsixn 1) x xsix n(cx olsn xsix n ) x 8 首页 上页 返回 下页 结束 铃 一般地 f ( x) u( x)v( x) (u( x) 0) ln f ( x) v( x) ln u( x) 又 d ln f ( x) 1 d f ( x) dx f ( x) dx f ( x) f ( x) d ln f ( x) dx f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x) 9 首页 上页 返回 下页 结束 铃 随堂练* 1.y xs ixn1ex,求 dy. dx 10 首页 上页 返回 下页 结束 铃 2、求下列函数的导数: (1)ycoxs2(3x) (3)xysix n)y( (2)y(sixn)coxs (4)xyexy (5)ysi2 nx2(3) (7)x ysix n y () (6) yesi nx2 (8)xey yex 11 首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、由参数方程所确定的函数的导数 若参数方程 x y (t (t )确定 ) y与x间的函数关系 , 称此为由参数方程所确定的函数. 例如 x 2t, y t 2 , t x 2 消去参数 t yt2 (x)2 x 2 24 y 1 x 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 12 首页 上页 返回 下页 结束 铃 在 方 程 xy ((tt))中, 设函x数 (t)具有单调连续 t的 1(x反 )注, 函 y[1(x)] 意 分 再x 设 ( t)y , 函 ( t) 都 数 ,且 可 ( t) 0 , 导 子 由复合函数及反函数的求导法则得 母 不 dy dy dt dx dt dx dy dt 1 dx (t) (t) dt dy 要 即 dy dx dt dx (t) (t ) 颠 倒 dt 13 首页 上页 返回 下页 结束 铃 例5 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的切 方程. dy 解 dy dt asint sint dx dx aacost 1 cost dt dy dx t 2 sin 1 2 cos 1. 2 14 首页 上页 返回 下页 结束 铃 当 t 时 ,x a ( 1 ),y a . 2 2 所求切线方程为 yaxa(1) 2 即yxa(2) 2 15 首页 上页 返回



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